人工智能+Python：MIT線性代數(shù)課程筆記

知識(shí)概要

本節(jié)開始，我們一起來(lái)學(xué)習(xí)線性代數(shù)的有關(guān)知識(shí)，首節(jié)我們從解方程談起，學(xué)習(xí)線性代數(shù)的應(yīng)用之一就是求解復(fù)雜方程問(wèn)題，本節(jié)核心之一即為從行圖像與列圖像的角度解方程。

方程組的幾何解釋基礎(chǔ)：

2.1 二維的行圖像

我們首先通過(guò)一個(gè)例子來(lái)從行圖像角度求解方程：

我們首先按行將方程寫為矩陣形式：

系數(shù)矩陣(A)：將方程系數(shù)按行提取出來(lái)，構(gòu)成一個(gè)矩陣。

未知向量(x)：將方程未知數(shù)提取出來(lái)，按列構(gòu)成一個(gè)向量。

向量(b)：將等號(hào)右側(cè)結(jié)果按列提取，構(gòu)成一個(gè)向量。

接下來(lái)我們通過(guò)行圖像來(lái)求解這個(gè)方程：

所謂行圖像，就是在系數(shù)矩陣上，一次取一行構(gòu)成方程，在坐標(biāo)系上作圖。和我們?cè)诔醯葦?shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的作圖求解方程的過(guò)程無(wú)異。

2.2 二維的列圖像

接下來(lái)我們使用列圖像求解此方程：

即尋找合適的 x，y 使得 x 倍的(2,-1) + y 倍的(-1,2)得到最終的向量(0,3)。很明顯能看出來(lái)，1 倍(2,-1) + 2 倍(-1,2)即滿足條件。

反映在圖像上，明顯結(jié)果正確。

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方程組的幾何解釋推廣

3.1 高維行圖像

如果繪制行圖像，很明顯這是一個(gè)三個(gè)平面相交得到一點(diǎn)，我們想直接看出這個(gè)點(diǎn)的性質(zhì)可謂是難上加難。

比較靠譜的思路是先聯(lián)立其中兩個(gè)平面，使其相 交于一條直線，在研究這條直線與平面相交于哪個(gè)點(diǎn)，最后得到點(diǎn)坐標(biāo)即為方程 的解。

這個(gè)求解過(guò)程對(duì)于三維來(lái)說(shuō)或許還算合理，那四維呢?五維甚至更高維數(shù)呢?直觀上很難直接繪制更高維數(shù)的圖像，這種行圖像受到的限制也越來(lái)越多。

3.2 高維列圖像

左側(cè)是線性組合，右側(cè)是合適的線性組合組成的結(jié)果，這樣一來(lái)思路就清晰多了，“尋找線性組合”成為了解題關(guān)鍵。

很明顯這道題是一個(gè)特例，我們只需要取 x = 0，y = 0，z = 1。就得到了結(jié)果，這在行圖像之中并不明顯。

當(dāng)然，之所以我們更推薦使用列圖像求解方程， 是因?yàn)檫@是一種更系統(tǒng)的求解方法，即尋找線性組合，而不用繪制每個(gè)行方程的圖像之后尋找那個(gè)很難看出來(lái)的點(diǎn)。

另外一個(gè)優(yōu)勢(shì)在于，如果我們改變最后的結(jié)果 b，例如本題中，

那么我們 2 −1 1 0 −3 4 −3 就重新尋找一個(gè)線性組合就夠了，但是如果我們使用的是行圖像呢?那意味著我 們要完全重畫三個(gè)平面圖像，就簡(jiǎn)便性來(lái)講，兩種方法高下立判。

另外，還要注意的一點(diǎn)是對(duì)任意的 b 是不是都能求解 Ax = b 這個(gè)矩陣方程呢? 也就是對(duì) 3*3 的系數(shù)矩陣 A，其列的線性組合是不是都可以覆蓋整個(gè)三維空間呢?

對(duì)于我們舉的這個(gè)例子來(lái)說(shuō)，一定可以，還有我們上面 2*2 的那個(gè)例子，也可以 覆蓋整個(gè)平面，但是有一些矩陣就是不行的。

比如三個(gè)列向量本身就構(gòu)成了一個(gè) 平面，那么這樣的三個(gè)向量組合成的向量只能活動(dòng)在這個(gè)平面上，肯定無(wú)法覆蓋 2 −1 1 一個(gè)三維空間，

這三個(gè)向量就構(gòu)成了一個(gè)平面。

3.3 矩陣乘法

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學(xué)習(xí)感悟

這部分內(nèi)容是對(duì)線性代數(shù)概念的初涉，從解方程談起，引進(jìn)列空間的概念，可以發(fā)現(xiàn)從列空間角度將求解方程變化為求列向量的線性組合，這個(gè)方式更加科學(xué)。 介紹了矩陣乘法，這部分內(nèi)容重在理解。

希望對(duì)大家有幫助~